国際医療福祉大 保健医療・成田看護・成田保険医療学部 一般入試 2018 数学Ⅰ・A 第4問

S・Gさん(高3)からの依頼。

 

 A、B、C、Dの4つの箱があり、どの箱にも1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚はいっている。それぞれの箱からカードを1枚ずつ計4枚取り出す。

(1)4枚すべてが同じ数字のカードである確率は(    )である。

(2)4枚すべてが、異なる数字のカードである確率は(    )である。

(3)4枚の中に同じ数字のカードが2枚ずつ2組ある確率は(    )である。

(4)4枚のカードの数字の和が9である確率は(    )である。

(5)4枚の中に偶数のカードが1枚だけ含まれる確率は(    )であり、その偶数のカードを箱Aから取り出した条件付き確率は(    )である。

 

【解答】

(1)すべての場合の数は 4×4×4×4=256

4枚すべてが同じ数になるのは、 (1111), (2222), (3333), (4444)の4通り

 よって、4÷256=1/64

 

(2)4枚すべてが異なる数になるのは、4!

よって求める確率は 4!÷256=24÷256=3/32

 

(3)4つの数から異なる2数を選ぶ組合せは、(12), (13), (14), (23), (24), (34)の6通り。

 2数P、Qを2枚ずつ4枚並べるときの並べ方は、

 (PPQQ), (PQPQ), (PQQP), (QPPQ), (QPQP), (QPPQ), (QQPP)の6通り。

 よって、場合の数は、6×6=36

 求める確率は36÷256=9/64

 

(4)1~4のうちの4つの数字の和が9になる組合せは、

 (1134), (1224), (1233), (2223)の4つ。

 このうち、(1134), (1224), (1233)については、

 それぞれ、4×3×2÷2=12(通り) の組合せがある。

 また、(2223)については、3をA~Dのどこで引くかにより、4通りの並べ方がある。

 よって、(12×3+4)÷256=40/256=5/32

 

(5)(ⅰ)偶数のカードが1枚だけ含まれるとき、

  1. 残りの3つの奇数がすべて同じ場合偶数をA~Dのどこから引くかにより……4通り(イ)よって、2×4×2=16(通り)
  2. 奇数がすべて1の場合、あるいはすべて3の場合……2通り
  3. 偶数が2である場合と、4である場合……2通り(ア)
  4. 奇数に1と3が両方含まれるとき、

奇数1, 3の並べ方は、(113), (131), (311), (331), (313), (133)の6通り(ウ)

(ア)、(イ)、(ウ)により、2×4×6=48(通り)

①, ②より、(16+48)÷256=64/256=1/4

 (ⅱ)Aの箱から偶数を取り出したとき、

   Aが2の場合と4の場合……2通り

   残りの奇数がすべて1、あるいはすべて3の場合……2通り

   残りの奇数に1と3が両方含まれる場合…6通り(ウ)

   よって、2×(2+6)÷256=16/256=1/16

(ⅰ)(ⅱ)より、求める条件付き確率は、1/16÷1/4=1/4

 

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 割と易しめのスタンダードな確率の問題です。意味のよくわかっていない、P(順列)やC(組合せ)を使って誤答するよりも、中学生でもできる作業中心の解き方の方が、問題の全貌が把握しやすく、勘違いも起りにくいです。

 できるだけそのように解いてみました。